数学模型描述

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对称双弹簧曲柄连杆机构 S1→S2 全程运动数学模型（v5 · 能量法修正版）

v5 更新说明（2026-07-21）：计算范围由「S1 → OFF 双分位置」扩展为 S1 → S2 全程（主轴共转 90°）。利用两侧触头完全对称的结构：S1 侧触头分离的转角增量 Δθ₁ 同时也是 S2 侧触头从接触到停止的转角增量，因此摩擦阻力由两段式改为三段式（S1 分断 → 双分行程 → S2 关合），终点改为 θ_end = θ₀ + 2×Δθ₂（默认 100°）。全部结果按全程重算（S1→S2 总时间 11.76 ms，其中到达 OFF 中点 8.80 ms）。

v4 更新说明（2026-07-18）：角度参数改为「起始曲柄角度 + 相对转角增量」表达——起始曲柄角度 θ₀ = 10°（曲柄角度，非触头角度），触头分离角 θ₁ = θ₀ + Δθ₁（默认 Δθ₁ = 17.68°，即 27.68°），双分位置角 θ₂ = θ₀ + Δθ₂（默认 Δθ₂ = 45°，即 55°），并新增约束 Δθ₁ ≤ Δθ₂；全部计算结果按新行程重算（总时间 6.95 → 8.80 ms，末速 158.0 → 217.7 rad/s）。

v3 更新说明（2026-07-18）：新增第 9 节「输入参数有效性约束与失效判定」，明确每个输入物理量的合法域、失效模式与处理方式（与配套 Excel / 交互网页的校验逻辑一致）。

v2 更新说明（2026-07-18） 1. 修正运动方程：补充变惯量修正项 -\frac{1}{2}\frac{dJ}{d\theta}\dot{\theta}^2（详见第 6 节）； 2. 积分方法由时间步进法改为能量法，严格满足能量守恒； 3. 新增第 4 节「分断时间计算 · 简明版」，用最少公式说明完整计算流程； 4. 计算结果更新为修正后数值（总时间 6.79 → 6.95 ms，末速 170.9 → 158.0 rad/s）。

1. 机构运动逻辑

1.1 机构结构

本模型描述一个对称双弹簧曲柄滑块机构，用于双电源切换开关的分断操作。机构组成如下：

1.2 运动阶段划分（v5 · S1→S2 全程）

曲柄从 S1 位置（θ₀ = 10°）静止状态开始运动，主轴共转 90°，到 S2 停止位置（θ_end = θ₀ + 2×Δθ₂ = 100°） 结束。由于 S1、S2 两侧触头结构完全对称，S1 侧「接触→分离」的转角增量 Δθ₁ 同时就是 S2 侧「接触→停止」的转角增量，全程关于 OFF 双分中点（θ₂ = θ₀ + Δθ₂ = 55°）镜像，分为三个阶段：

阶段 转角范围 触头状态 阻力组成 运动特征
阶段一（S1 分断） 10° → 27.68° S1 接触中 主轴摩擦 + 触头摩擦 触头提供较大摩擦阻力，速度增长较慢
阶段二（双分行程） 27.68° → 82.32° 两侧均断开 仅主轴摩擦 摩擦骤降，速度快速增加，经过 OFF 中点
阶段三（S2 关合） 82.32° → 100° S2 接触中 主轴摩擦 + 触头摩擦 动触头滑入静触头，摩擦重新出现并阻碍运动

关键角度（默认参数）： - θ₁ = θ₀ + Δθ₁ = 27.68°：S1 触头分离点，此后 S1 侧触头摩擦消失； - θ₂ = θ₀ + Δθ₂ = 55°：OFF 双分中点，两侧触头均处于断开状态； - θ₃ = θ₀ + 2Δθ₂ − Δθ₁ = 82.32°：S2 触头接触点（对称性：终点前 Δθ₁），此后 S2 侧触头摩擦出现； - θ_end = θ₀ + 2Δθ₂ = 100°：S2 停止位置（限位挡块）。

角度定义约定（v4/v5）：θ₀ 为起始曲柄角度（曲柄角度，非触头角度）；各关键角均以「起始曲柄角度 + 转角增量」表达，且必须满足 Δθ₁ ≤ Δθ₂（分离位置不晚于双分位置）。弹簧驱动扭矩公式全程不变（默认参数下终点弹簧仍有约 8.6 mm 压缩量，见 9.2 节）。

2. 输入物理量参数

2.1 几何参数

符号 名称 数值 单位 说明
r 曲柄长度 15.4 mm 转轴到曲柄销的距离
l 连杆长度 30.57 mm 曲柄销到滑块销的距离
\theta 曲柄转角 变量 ° 以水平向右为 0°，逆时针为正
\theta_0 起始曲柄角度 10 ° 曲柄角度（非触头角度），运动初始位置
\Delta\theta_1 分离转角增量 17.68 ° 触头分离角 \theta_1 = \theta_0 + \Delta\theta_1 = 27.68°
\Delta\theta_2 双分转角增量 45 ° 双分位置角 \theta_2 = \theta_0 + \Delta\theta_2 = 55°

约束：\Delta\theta_1 \le \Delta\theta_2（触头分离位置必须不晚于双分位置）；0° \le \theta_0 且 \theta_0 + \Delta\theta_2 \le 90°（模型适用角域）。

2.2 弹簧参数（两侧相同）

符号 名称 数值 单位 说明
L_0 弹簧自由长度 52.2 mm 弹簧不受力时的长度
L_{s0} θ=0°时弹簧长度 21.5 mm 曲柄水平向右时弹簧的压缩长度
k 弹簧刚度 14.5 N/mm 弹簧力与压缩量的比例系数

2.3 触头摩擦参数

符号 名称 数值 单位 说明
n_{pole} 极数 4 — 开关极数
n_{break} 断点数/极 2 — 双断点结构
n_{surface} 摩擦面数/断点 2 — 动触头夹住静触头（两侧摩擦）
N_{contact} 总摩擦接触点数 16 — N_{contact} = n_{pole} \times n_{break} \times n_{surface}
F_{pressure} 单边触头压力 11 N 每个摩擦面的正压力
r_{contact} 触头摩擦半径 26 mm 摩擦位置到旋转轴的直线距离
\mu 触头摩擦系数 0.2 — 铜镀银典型值

摩擦系数推荐范围： - 铜-铜（干摩擦）：0.3 ~ 0.5 - 铜镀银：0.15 ~ 0.25 - 银-银：0.1 ~ 0.2 - 有润滑：0.05 ~ 0.1

2.4 主轴摩擦参数

符号 名称 数值 单位 说明
T_{bearing} 主轴摩擦扭矩 1000 N·mm 转轴轴承摩擦阻力矩

推荐范围： - 滚动轴承：100 ~ 500 N·mm - 滑动轴承：500 ~ 3000 N·mm - 含密封/润滑不良：1000 ~ 5000 N·mm

2.5 质量与转动惯量参数

符号 名称 数值 单位 说明
J_{shaft} 轴系转动惯量 124.57 kg·mm² 含驱动轴、输出轴、主轴、动触头锁扣、动触头、触头支架、触头弹簧等
m_{slider} 单侧滑块质量 0.20562871 kg 含滑块及连接件

3. 导出常数

符号 名称 数值 单位 推导公式
x(0) θ=0°时右侧滑块位置 45.97 mm x(0) = r + l
x_{fix,R} 右侧弹簧固定端位置 67.47 mm x_{fix,R} = x(0) + L_{s0}
x_{fix,L} 左侧弹簧固定端位置 -67.47 mm x_{fix,L} = -x(0) - L_{s0}
F_{normal,total} 总正压力 176 N F_{normal,total} = N_{contact} \times F_{pressure}
T_{contact} 触头摩擦扭矩 915 N·mm T_{contact} = F_{normal,total} \times \mu \times r_{contact}

4. 分断时间计算 · 简明版

4.1 一句话原理

弹簧做的功 − 摩擦耗掉的功 = 机构攒下的动能。 对每个转角 \theta 算出净功，就能反推出该处的转速 \omega；把每一小段的「转角 ÷ 转速」累加起来，就是分断时间。

这个方法叫能量法。它不需要解微分方程，只需要会算四则运算和开平方，且严格满足能量守恒。

4.2 七步计算流程

θ 从 θ₀=10° 扫到 θ₂=55°（每 0.01° 一步），每一步算 7 个量：

 ① 滑块位置   x(θ) = r·cosθ + √(l² − r²·sin²θ)
 ② 弹簧力     Fs = k·(L₀ − Ls)，其中 Ls = 67.47 − x(θ)
 ③ 传动比     dx/dθ = −r·sinθ·(1 + r·cosθ/√(l² − r²·sin²θ))
 ④ 驱动扭矩   T_spring = −2·Fs·(dx/dθ)        ← 虚功原理，两侧弹簧 ×2
 ⑤ 总惯量     J_total = 124.57 + 2·m_slider·(dx/dθ)²
 ⑥ 净功累积   W_net(θ) = Σ ½(T_净,n₋₁ + T_净,n)·Δθ   ← 梯形累加，T_净 = T_spring − T_摩擦
 ⑦ 转速与时间 ω = √(2·W_net×1000/J_total)，Δt = Δθ/ω̄，t 累加

其中只有 ⑥⑦ 是「积分」，其余都是代数代入。\omegā 指相邻两步转速的平均值。

4.3 数值演算示例（θ = 27.68° 脱离点）

步骤 计算 结果
① x 15.4\cos27.68° + \sqrt{30.57^2 - 15.4^2\sin^2 27.68°} 43.36 mm
② Fs Ls = 67.47-43.36 = 24.11 mm → 14.5\times(52.2-24.11) 407.3 N
③ dx/dθ -15.4\sin27.68°\times(1+\frac{15.4\cos27.68°}{\sqrt{30.57^2-15.4^2\sin^2 27.68°}}) −10.44 mm/rad
④ T_spring -2\times 407.3\times(-10.44) 8501 N·mm
⑤ J_total 124.57 + 2\times0.20563\times10.44^2 169.4 kg·mm²
⑥ W_net 弹簧功 1915.1 − 摩擦功 591.0（梯形累加至此角） 1324.1 N·mm
⑦ ω \sqrt{2\times1324.1\times1000/169.4} 125.0 rad/s

时间：把 10°→27.68° 之间每一步的 \Delta t = \Delta\theta/\bar{\omega} 累加，得 6.05 ms；继续扫到 OFF 中点 55° 得 8.80 ms，扫到 S2 触头接触点 82.32° 得 10.72 ms，扫到终点 100° 得 S1→S2 全程总时间 11.76 ms。

单位说明：功的单位 N·mm = mJ；动能 \frac{1}{2}J\omega^2 的单位 kg·mm²/s²，需乘 1000 才是 N·mm，这就是 ⑦ 中 ×1000 的由来。

4.4 为什么不用「角加速度 × 时间步长」逐步积分？

传统做法 J\cdot\ddot\theta = T_{net} 配上 \omega_{n+1} = \omega_n + \alpha\Delta t 也能算，但有一个隐蔽陷阱：本机构的转动惯量随转角变化（131 → 238 kg·mm²，增幅 82%），此时方程左边不再是简单的 J\ddot\theta，必须补一项 -\frac{1}{2}\frac{dJ}{d\theta}\dot\theta^2（见第 6 节）。漏掉它，能量就不守恒，末速会被高估约 12%。能量法从功-能关系出发，天然包含了这一项，是最稳妥的算法。

5. 计算过程与公式（完整版）

5.1 滑块位置函数

曲柄转角 \theta 与右侧滑块位置 x_R 的关系：

x_R(\theta) = r\cos\theta + \sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta}

左侧滑块位置（由对称性）：x_L(\theta) = -x_R(\theta)

5.2 弹簧长度与弹簧力

右侧弹簧长度：L_{s,R}(\theta) = x_{fix,R} - x_R(\theta)

左侧弹簧长度（由对称性）：L_{s,L}(\theta) = L_{s,R}(\theta) —— 两侧弹簧长度始终相等。

弹簧力（胡克定律，受压为正）：

F_s(\theta) = k \cdot (L_0 - L_s(\theta))

5.3 传动比（力臂系数）

滑块位置对转角的导数：

\frac{dx}{d\theta} = -r\sin\theta \left(1 + \frac{r\cos\theta}{\sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta}}\right)

物理意义： - \frac{dx}{d\theta} < 0（\theta > 0）：逆时针旋转时滑块向左移动 - \frac{dx}{d\theta} = 0（\theta = 0）：死点位置，力臂为零 - |\frac{dx}{d\theta}| 随 \theta 增大而增大：同样的弹簧力，越往后产生的扭矩越大（这是驱动扭矩随角度上升的主要原因）

5.4 弹簧驱动扭矩

由虚功原理，单侧弹簧产生的驱动扭矩 T_{single} = -F_s \cdot \frac{dx}{d\theta}，两侧对称叠加：

T_{spring}(\theta) = -2F_s(\theta) \cdot \frac{dx}{d\theta} \quad [\text{N·mm}]

5.5 转动惯量（随转角变化）

轴系惯量为 Creo 实测恒定值 J_{shaft} = 124.57 kg·mm²。滑块平动动能经等效折算：

J_{slider}(\theta) = m_{slider}\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2,\qquad J_{total}(\theta) = J_{shaft} + 2m_{slider}\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2

特性：\frac{dx}{d\theta} 随角度增大 → 滑块等效惯量（双侧合计）从 10° 时的 6.6 kg·mm² 增至 55° 时的 113.5 kg·mm²，总惯量从 131.2 增至 238.1 kg·mm²（+82%）。正是这个变化引出了第 6 节的修正项。

5.6 摩擦阻力矩（分段）

T_{friction}(\theta) = \begin{cases} T_{bearing} + T_{contact} = 1915, & 10° \leq \theta \leq 27.68° \quad\text{（S1 分断）}\\ T_{bearing} = 1000, & 27.68° < \theta < 82.32° \quad\text{（双分行程）}\\ T_{bearing} + T_{contact} = 1915, & 82.32° \leq \theta \leq 100° \quad\text{（S2 关合）} \end{cases}

对称性依据：S1、S2 两侧触头结构完全相同，关合侧动触头滑入静触头的转角行程与分断侧滑出相同（均为 Δθ₁），滑动摩擦大小相同、方向均阻碍运动，故阶段三阻力与阶段一相同。

5.7 运动方程（v2 修正）

变惯量系统的完整运动方程（拉格朗日方程导出）：

J_{total}(\theta)\cdot\ddot{\theta} = T_{spring}(\theta) - T_{friction}(\theta) \;\underbrace{-\;\frac{1}{2}\frac{dJ_{total}}{d\theta}\,\dot{\theta}^2}_{\text{v2 补充的修正项}}

5.8 数值积分：能量法（v2）

对任意转角 \theta，弹簧与摩擦的累积功：

W_{spring}(\theta) = \int_{\theta_0}^{\theta} T_{spring}(\varphi)\,d\varphi,\qquad W_{fric}(\theta) = \int_{\theta_0}^{\theta} T_{friction}(\varphi)\,d\varphi

由能量守恒 \frac{1}{2}J(\theta)\omega^2 = W_{spring} - W_{fric}（静止启动，初动能为零）直接解出转速：

\boxed{\;\omega(\theta) = \sqrt{\frac{2\,(W_{spring}(\theta) - W_{fric}(\theta)) \times 1000}{J_{total}(\theta)}}\;}\quad [\text{rad/s}]

运动时间为：

t = \int_{\theta_0}^{\theta_2}\frac{d\theta}{\omega(\theta)}

离散化（Excel 实现，步长 Δθ = 0.01°）：

W_net,n  = W_net,n₋₁ + ½(T_net,n₋₁ + T_net,n)·Δθ_rad        ← 梯形法累积净功
ω_n      = √(2·W_net,n×1000 / J_n)
Δt_n     = Δθ_rad / ½(ω_n₋₁ + ω_n)
t_n      = t_n₋₁ + Δt_n

终止条件：\theta \geq \theta_2 = 55° 时停止，记录 t_{total} 与 \omega_{final}。步长收敛性已验证：0.01° 与 0.001° 步长的结果差 < 0.001%。

6. 变惯量修正项 -\frac{1}{2}\frac{dJ}{d\theta}\dot{\theta}^2 详解

6.1 这一项是什么？

它是转动惯量随转角变化时，运动方程里必须出现的附加阻力矩。当 J 不是常数时，「惯量 × 角加速度 = 合外力矩」这条熟悉的公式不再成立，右边必须补上 -\frac{1}{2}J'(\theta)\,\dot\theta^2。

6.2 从哪来的？（两步推导）

系统动能 T = \frac{1}{2}J(\theta)\,\dot\theta^2，代入拉格朗日方程 \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot\theta} - \frac{\partial T}{\partial \theta} = Q：

\frac{d}{dt}\underbrace{J(\theta)\dot\theta}_{\partial T/\partial\dot\theta} = J\ddot\theta + J'(\theta)\dot\theta^2, \qquad \frac{\partial T}{\partial\theta} = \frac{1}{2}J'(\theta)\dot\theta^2

两式相减得：J\ddot\theta + \frac{1}{2}J'(\theta)\dot\theta^2 = Q，移项即修正后的运动方程。该项本质上是动能对角度的偏导数——惯量变化本身也储存/释放能量。

6.3 直观理解：花样滑冰类比

花样滑冰运动员收臂时 J 变小、转速自动升高；张臂时 J 变大、转速自动降低——不需要任何外力矩，仅仅是 J 在变。本机构中，曲柄每转过一个角度，滑块的等效惯量都在增大，效果等同于运动员持续”张臂”：即使没有摩擦，转速也比「J 恒定」算出来的要低。这个”自动减速效应”量化后就是 -\frac{1}{2}J'(\theta)\dot\theta^2。

6.4 本机构中有多大？（为什么不能忽略）

以触头脱离点（27.68°）为例：

量 数值
\frac{dJ}{d\theta}（实测曲线斜率） ≈ 159 kg·mm²/rad
\omega（脱离点转速） 125.0 rad/s
修正项 \frac{1}{2}\frac{dJ}{d\theta}\omega^2 ≈ 1244 N·mm
对比：触头摩擦扭矩 915 N·mm
对比：主轴摩擦扭矩 1000 N·mm

它比任何一项摩擦都大。 若忽略该项：能量不守恒（末态动能比净功多出 1440.8 N·mm，占净功 25.5%），末速被高估 12.0%（217.7 → 243.9 rad/s），分断时间被低估 3.9%（8.80 → 8.47 ms），末态动能被高估约 25.5%——会直接影响触头冲击、机构强度的评估结论。行程越长，该项影响越大。

6.5 为什么能量法”自动包含”它？

能量法直接对动能积分：\frac{1}{2}J(\theta)\omega^2 = W_{net}。由于 J(\theta) 逐点代入，惯量变化的影响已经含在等式左边，无需显式写出修正项。可以验证：能量法与「带修正项的时间步进法」结果完全一致。

7. 计算结果（v5 · S1→S2 全程，能量法）

7.1 触头摩擦参数汇总

参数 数值
摩擦系数 \mu 0.2（铜镀银）
总正压力 F_{normal,total} 176 N
触头摩擦扭矩 T_{contact} 915 N·mm
主轴摩擦扭矩 T_{bearing} 1000 N·mm
阶段一/三总摩擦（触头接触区段） 1915 N·mm = 1.915 N·m
阶段二总摩擦（双分行程） 1000 N·mm = 1.000 N·m

7.2 运动时间计算结果

阶段 转角范围 到达时刻 阶段耗时 耗时占比 该处角速度
S1 → 触头脱离 10° → 27.68° 6.05 ms 6.05 ms 51.4% 125.0 rad/s
触头脱离 → OFF 27.68° → 55° 8.80 ms 2.75 ms 23.4% 217.7 rad/s
OFF → 触头接触 55° → 82.32° 10.72 ms 1.92 ms 16.4% 280.2 rad/s
触头接触 → S2 82.32° → 100° 11.76 ms 1.03 ms 8.8% 317.7 rad/s
全程 S1 → S2 10° → 100°（90°） — 11.76 ms 100% —

阶段按 OFF 双分中点切分后可见：双分行程（脱离→接触）合计 4.68 ms，其中前半（脱离→OFF）2.75 ms 慢于后半（OFF→接触）1.92 ms——机构过 OFF 后已积累更高速度。

注：OFF→S2 半程（2.96 ms）远快于 S1→OFF 半程（8.80 ms）——进入后半程时机构已具有 217.7 rad/s 的速度，后半程是「带着动能冲刺」，这正是储能式切换机构的工作特性。

7.3 关键中间状态

转角 时间 角速度 转动惯量 阶段
10°（S1 起始） 0 ms 0 rad/s 131.2 kg·mm² 起始
18.84° 4.53 ms 79.9 rad/s 146.9 kg·mm² 阶段一
27.68°（θ₁ = θ₀+17.68°） 6.05 ms 125.0 rad/s 169.4 kg·mm² S1 触头分离
41.34° 7.60 ms 180.1 rad/s 208.1 kg·mm² 阶段二
55°（θ₂ = θ₀+45°） 8.80 ms 217.7 rad/s 238.1 kg·mm² OFF 双分中点
68.66° 9.82 ms 249.1 rad/s 248.0 kg·mm² 阶段二
82.32°（θ₃ = θ₀+72.32°） 10.72 ms 280.2 rad/s 235.8 kg·mm² S2 触头接触
91.16° 11.26 ms 298.9 rad/s 219.8 kg·mm² 阶段三
100°（θ_end = θ₀+90°） 11.76 ms 317.7 rad/s 201.1 kg·mm² S2 停止

7.4 能量收支表（自检）

项目 全程（10°→100°）
弹簧总功 W_{spring} 12283.2 N·mm
摩擦总耗 W_{fric} 2135.6 N·mm
净功 W_{net} 10147.6 N·mm
末态动能 \frac{1}{2}J\omega^2 10147.6 N·mm ✓ 守恒

7.5 结果解读

8. 公式汇总（v2）

【角度定义（v5 · S1→S2 全程）】
  θ₁    = θ₀ + Δθ₁          （S1 触头分离角，默认 27.68°）
  θ₂    = θ₀ + Δθ₂          （OFF 双分中点，默认 55°）
  θ₃    = θ₀ + 2Δθ₂ − Δθ₁   （S2 触头接触角，默认 82.32°）
  θ_end = θ₀ + 2Δθ₂         （S2 停止位置，默认 100°，主轴共转 90°）
  约束 Δθ₁ ≤ Δθ₂，θ₀ + 2Δθ₂ ≤ 180°

【几何关系】
  x_R(θ) = r·cos(θ) + √(l² - r²·sin²(θ))
  x_L(θ) = -x_R(θ)

【弹簧模型】
  Ls(θ) = (r + l + Ls₀) - x_R(θ)
  Fs(θ) = k · (L₀ - Ls(θ))

【传动比】
  dx/dθ = -r·sin(θ) · [1 + r·cos(θ)/√(l² - r²·sin²(θ))]

【驱动扭矩】
  T_spring(θ) = -2 · Fs(θ) · (dx/dθ)    [N·mm]

【转动惯量】
  J_slider(θ) = m_slider · (dx/dθ)²     [kg·mm²]
  J_total(θ) = J_shaft + 2 · J_slider(θ) [kg·mm²]

【摩擦阻力】
  T_fric(θ) = T_bearing + T_contact    (θ₀ ≤ θ ≤ θ₁)
  T_fric(θ) = T_bearing                (θ₁ < θ ≤ θ₂)
  T_contact = N_contact · F_pressure · μ · r_contact

【运动方程（v2 修正，含变惯量项）】
  J(θ)·θ̈ = T_spring(θ) - T_fric(θ) - ½·(dJ/dθ)·θ̇²

【能量法积分（v2 推荐）】
  W_net(θ) = ∫(T_spring - T_fric) dθ        （梯形累积）
  ω(θ) = √(2·W_net(θ)×1000 / J(θ))
  t = ∫ dθ/ω(θ)，离散步进 Δt = Δθ/ω̄

9. 输入参数有效性约束与失效判定（v3 新增）

分断时间计算成立是有前提的。本节列出每个输入物理量的合法域与失效模式，配套 Excel 与交互网页均按此实现三级校验：参数域错误（⛔ 无法计算）→ 物理/模型失效（⛔ 结果无意义）→ 工程警告（⚠️ 结果有效但需注意）。

9.1 第一级：参数域约束（违反则无法计算）

参数 约束条件 违反后果
r r > 0 机构无意义
l l > r l^2 - r^2\sin^2\theta < 0，根号内出现负值，机构无法成立
\theta_0, \Delta\theta_1, \Delta\theta_2 0° \le \theta_0；\Delta\theta_1, \Delta\theta_2 > 0；\Delta\theta_1 \le \Delta\theta_2；\theta_0+\Delta\theta_2 \le 90° 阶段划分错误；分离晚于双分逻辑矛盾；超出 90° 后模型对称性与接触假设不再适用
L_0 L_0 > 0 物理量无意义
L_{s0} 0 < L_{s0} < L_0 θ=0° 时弹簧未压缩，预压假设不成立
k k > 0 物理量无意义
F_{pressure} F_{pressure} > 0 物理量无意义
r_{contact} r_{contact} > 0 物理量无意义
\mu \mu > 0 物理量无意义
T_{bearing} T_{bearing} \ge 0 物理量无意义
J_{shaft} J_{shaft} > 0 角加速度发散，物理量无意义
m_{slider} m_{slider} \ge 0 取 0 时为忽略滑块惯量的理想化，合法

9.2 第二级：物理 / 模型失效（可计算但结果无意义，必须拦截）

失效模式 判定条件 物理含义与正确处理
无法启动 T_{spring}(\theta_0) \le T_{bearing} + T_{contact} 起始驱动力矩不足以克服静摩擦，机构静止，分断时间 = ∞。
当前参数上限：T_{bearing} < T_{spring}(\theta_0) - T_{contact} = 3526 - 915 \approx 2611 N·mm。
⚠️ 数值积分若对该工况”跳过负功区间继续累加”，会输出虚假的短时间——必须显式判定并输出 ∞
中途停滞 存在 \theta < \theta_{end} 使 W_{net}(\theta) \le 0 净功耗尽，机构停在半途，无法到达 S2 停止位置
弹簧进入拉伸 L_s(\theta_{end}) = x_{fix} - x(\theta_{end}) \ge L_0 弹簧在某转角达到自由长度后进入拉伸；实际压簧会失去接触、作用力消失，胡克定律模型失效，结果不可信。处理：增大 L_0、减小 L_{s0}（增大预压量）或减小 \Delta\theta_2（缩短行程）

弹簧拉伸失效的单调性说明：x(\theta) 在 0°\le\theta\le180° 单调递减 → L_s(\theta) 单调递增，因此只需检查全程终点 L_s(\theta_{end})；网页实现中会同时给出弹簧达到自由长度的临界转角 \theta^*。默认参数下 L_s(100°)=43.6 mm < L_0=52.2 mm，终点弹簧仍保有约 8.6 mm 压缩量，模型成立。

9.3 第三级：工程警告（结果有效，但需注意）

警告项 判定条件 说明
启动裕度偏低 1 < \dfrac{T_{spring}(\theta_0)}{T_{fric}(\theta_0)} < 1.3 工程建议启动裕度 ≥ 1.3；当前默认参数为 3526/1915 ≈ 1.84，健康
摩擦系数超范围 \mu > 0.6 超出常见金属接触摩擦范围，确认输入
行程提示 \theta_0 + \Delta\theta_2 > 60° 确认大行程符合实际机构设计

9.4 失效时的输出约定

文档版本：v5（S1→S2 全程 90° + 三段式摩擦 + 能量法 + 参数有效性约束）· 更新时间：2026-07-21 v1：2026-07-17 初版；v2：补充变惯量项、改用能量法积分、更新计算结果；v3：新增第 9 节参数有效性约束与失效判定；v4：角度改为 θ₀+Δθ 增量表达（Δθ₁=17.68°、Δθ₂=45°），结果按 10°→55° 行程重算；v5：扩展为 S1→S2 全程（θ₀→θ₀+2Δθ₂，默认 90° 主轴转角），利用触头对称性采用三段式摩擦（S1 分断 → 双分行程 → S2 关合），结果按 10°→100° 全程重算 模型适用于对称双弹簧曲柄滑块机构的 S1→S2 全程运动时间计算，配套交付物：《双弹簧曲柄分断运动计算模型.xlsx》、交互仿真网页